|
|
עמוד:7
משוואה לינארית בשני משתנים – פתרון והמחשה גיאומטרית . 1 מציאת פתרון כללי כל משוואה לינארית בשני משתנים ניתנת להצגה סטנדרטית כך : a x + a y = b אם , a = a = 0 לפנינו משוואה מהטיפוס : 0 x + 0 y = b אם , b = 0 אז כל זוג סדור של מספרים ממשיים פותר אותה , ואם b ≠ 0 אין לה אף פתרון . כאשר לפחות אחד מבין a ו- a שונה מ- , 0 קבוצת הפתרונות היא אינסופית ( אבל היא אינה כל . ( R הצגה סטנדרטית כאשר כל המשתנים של משוואה לינארית מרוכזים באגף שמאל וכל המקדמים החופשיים באגף ימין , אומרים : המשוואה מוצגת בצורה סטנדרטית . למשל , המשוואה הלינארית 2 x + 3 -y 7 z = 18 מוצגת בצורה סטנדרטית . המשוואה 17 -x 3 -y 4 = 8 + 2 yx אינה מוצגת בצורה סטנדרטית , אבל על-ידי העברת מחוברים מאגף לאגף ( תוך היפוך סימנים ) וכינוס המקדמים של כל אחד מהמשתנים , מתקבלת ממנה המשוואה , 15 x - 11 y = 4 המוצגת בצורה סטנדרטית . קבוצת הפתרונות של משוואה אחרונה זו , מתלכדת עם קבוצת הפתרונות של המשוואה המקורית , או , כפי שמקובל לומר , המשוואה האחרונה שקולה למשוואה המקורית . בשל כך אומרים שהיא הצגה סטנדרטית של המשוואה המקורית . באופן כללי , הצגה סטנדרטית של משוואה לינארית כללית ב- n משתנים נראית כך : a x + a x + B + a x = b לכל משוואה לינארית יש הצגה סטנדרטית . ( : 3 x - 2 y = z ( 4 כדי לפתור – נקבע ערכים שרירותיים s ו- t למשתנים x ו- y ( בהתאמה ) , ונקבל את המשוואה ( במשתנה , 3 s - 2 t = z ( z שפתרונה היחיד הוא , כמובן , . z = 3 - 2 st שלשה סדורה s , t , r פותרת אפוא את המשוואה 3 -x 2 y = z אם , ורק אם . 3 s - 2 t = r אם-כן , קבוצת הפתרונות של המשוואה 3 -x 2 y = z היא קבוצת כל השלשות הסדורות מהטיפוס , s , t , 3 s - 2 t שבהן s ו- t הם מספרים ממשיים כלשהם . קבוצת הפתרונות של המשוואה הזאת היא אמנם אינסופית , אך היא חלקית-ממש ל- , R כי היא אינה מכילה את כל השלשות הסדורות של מספרים ממשיים ; למשל השלשה 0 , 0 , 5 אינה פותרת את המשוואה , שהרי . 3 ⋅ -0 2 ⋅ 0 ≠ 5
|
|