|
|
עמוד:6
פתרונות n -יה סדורה t , t , … , t n היא פתרון של משוואה לינארית ב- n המשתנים x , x , … , x n אם , ורק אם כאשר מציבים את רכיביה במשוואה במקום המשתנים x , x , … , x בהתאמה , מתקבל שוויון . למשל , השלשה הסדורה x , , yz = 1 , 1 , 1 היא פתרון של המשוואה , 4 x + 2 y = - 93 z כי . 4 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 = -9 ⋅ 31 על השלשה הסדורה 1 , 1 , 1 נאמר גם שהיא פותרת את המשוואה . 4 x + 2 y = - 93 z גם השלשה הסדורה 0 , 3 , 1 פותרת את המשוואה , שהרי . 4 ⋅ 0 + ⋅ 23 = -9 ⋅ 31 לעומת זאת השלשה הסדורה 3 , 1 , 0 אינה פותרת את המשוואה , כי . 4 ⋅ 3 + ⋅ 21 ≠ -9 ⋅ 30 אמרו מעתה : 1 , 1 , 1 ו- 0 , 3 , 1 שייכים לקבוצת הפתרונות של המשוואה הלינארית הנידונה , ואילו השלשה הסדורה 3 , 1 , 0 אינה שייכת לקבוצה זו . כפי שנראה מיד , יש משוואות לינאריות שלהן אין פתרון , יש משוואות לינאריות שלהן פתרון יחיד , ויש משוואות לינאריות אשר קבוצות הפתרונות שלהן אינסופיות . דוגמאות ( : x = x + 8 ( 1 למשוואה זו אין פתרון ; אין מספר ממשי t שעבורו . t = t + 8 קבוצת הפתרונות של משוואה זו היא ריקה . ( : 2 x = 9 ( 2 למשוואה זו יש פתרון יחיד , . x = 4 . 5 באופן כללי , לכל משוואה לינארית מהטיפוס , ax = b שבה , a ≠ 0 יש פתרון יחיד , והוא . x = b a ומה קורה כאשר ? a = 0 התשובה תלויה בערך של : b כאשר , b ≠ 0 אין פתרון למשוואה . 0 x = b לעומת זאת כאשר b = 0 כל מספר ממשי פותר אותה ; קבוצת הפתרונות של המשוואה 0 x = 0 היא . R ( : x + x = + xx 21 ( 3 לכל שני מספרים ממשיים t 2 , t 1 מתקיים השוויון . t + t = t + t 21 לפיכך קבוצת הפתרונות של משוואה זו היא קבוצת כל הזוגות הסדורים t , t 2 של מספרים ממשיים , כלומר כל . R 1 ראו בתחילת סעיף 3 . 5 בשיעור . I 2 תכונה זו של פעולת החיבור של מספרים ממשיים מכונה חילופיות . המאפיין של המשוואות הלינאריות , המבדיל אותן ממשוואות מטיפוסים אחרים כגון אלה שבדוגמה ( 5 ) הוא , שכל מחובר בכל אחד מאגפיהן הוא או מכפלה של משתנה במספר קבוע , או מספר קבוע . כל מחובר במשוואה לינארית נראה כמו מונום שמעלתו קטנה-או-שווה ל- . 1 בשל תכונה זו , משוואות לינאריות מכונות גם משוואות ממעלה ראשונה . המספרים הקבועים המופיעים במשוואה לינארית מכונים מקדמים . בקורס זה נעסוק רק במשוואות לינאריות שכל מקדמיהן הם מספרים ממשיים . מקדמים שאינם כפולים במשתנה מכונים מקדמים חופשיים .
|
|