העתקות לינאריות חד-חד-ערכיות ואיזומורפיזמים

כדי להראות שפונקציה f : A - B ( מקבוצה A לקבוצה B ) היא חד-חד ערכית , עלינו להראות שלכל . f ( a ) ≠ ( fa ) , a ≠ a 2 כדי להראות שהעתקה לינארית T : V - W ( ממרחב לינארי V למרחב לינארי W ) היא חד-חד ערכית , מספיק להראות שלכל , v ≠ 0 ( T ( v ) ≠ T ( 0 ( כלומר : ( T ( v ) ≠ 0 הלינאריות של T מבטיחה את היתר . כך מלמד המשפט הבא . משפט 8 . 34 תהי T : V - W העתקה לינארית . T היא חד-חד-ערכית אם , ורק אם לכל v ≠ 0 מתוך V מתקיים : T ( v ) ≠ 0 ( כלומר אם , ורק אם וקטור האפס הוא הווקטור היחיד ב- V שתמונתו היא וקטור האפס של . ( W הוכחה כיוון אחד : נניח ש- T חד-חד-ערכית . יהי . v ≠ 0 , v ∈ V בגלל החד-חד-ערכיות ( , T ( v ) ≠ T ( 0 ומכיוון ש- , T ( 0 ) = 0 הרי ש- . T ( v ) ≠ 0 הכיוון האחר : נניח שווקטור האפס הוא הווקטור היחיד ב- , V שתמונתו לפי T היא וקטור האפס של W ( ונראה ש- T חד-חד-ערכית ) . יהיו . v , v ∈ V אם ( T ( v ) = T ( v אז . T ( v ) - T ( v ) = 0 לכן , בשל הלינאריות של , T ( v - v ) = 0 , T ולפי ההנחה זה מבטיח ש- v - v = 0 כלומר ש- › . v = v 1 ראו במשפט . ( 1 ) 8 . 32 שאלה 8 . 42 א . תהי T :...  אל הספר