מערכות לינאריות אי-הומוגניות n × n

כל מטריצה מסדר , n × n היא מטריצת המקדמים המצומצמת של משפחה שלמה של מערכות לינאריות , n × n הנבדלות זו מזו במקדמים החופשיים . אחת מן המערכות במשפחה היא מערכת לינארית הומוגנית , וכל היתר – אי-הומוגניות . המערכת ההומוגנית מאופיינת לחלוטין על-ידי המטריצה המצומצמת . כדינן של מערכות הומוגניות , תמיד יש לה פתרון טריוויאלי , ואם הפתרון הטריוויאלי אינו הפתרון היחיד שלה – אז יש לה אינסוף פתרונות . המשפט הבא מקשר בין כמות הפתרונות של המערכת הלינארית ההומוגנית שבמשפחה הנידונה , לבין כמות הפתרונות של המערכות הלינאריות האי-הומוגניות הכלולות בה . משפט 7 . 23 תהי נתונה מטריצה ריבועית מסדר , n ונסתכל במשפחת המערכות הלינאריות , n × n אשר זו מטריצת המקדמים המצומצמת שלהן . . 1 אם למערכת ההומוגנית הכלולה במשפחה יש פתרון יחיד ( פתרון טריוויאלי בלבד ) , אז גם לכל מערכת אי-הומוגנית הכלולה בה יש פתרון יחיד . . 2 אם למערכת ההומוגנית הכלולה במשפחה יש אינסוף פתרונות , אז בין המערכות הכלולות במשפחה יש מערכות בעלות אינסוף פתרונות , ויש מערכות ( אי-הומוגניות ) ללא פתרונות , אבל אין אף מערכת בעלת פתרון יחיד . אפשר ל...  אל הספר