|
|
עמוד:34
3 . 4 נגזרת של חזקה ראינו כי הנגזרת של * היא . 2 x זהו מקרה פרטי של המשפט הכללי הבא : למשל : dx = 5 x הוכחה : נניח תחילה כי n הוא מספר טבעי , כלומר מספר חיובי שלם . נוכיח את המשפט בשיטה המכונה אינדוקציה מתמטית . נניח שהמשפט נכון לגבי , ? 1-1 כלומר , נניח שמתקיים : 2 ( x" - 1 ) ' = ( n-l ) x" בהסתמך על הנחה זו , נחשב עתה את הנגזרת של x . לשם כך נציג את x כמכפלה x n-x -x ונשתמש בכלל לגזירה של מכפלה . x )' x + { x )' x n-x H ( n l ) + l ) = nx n-1 = ( n- ^ " - x + x" - - ( n-l ) x n-1 + x n-1 ( x" ) ' = ( x" - *) ' = { x = x nranno שהמשפט מתקיים עבור , n - 1 נובע אפוא שהוא מתקיים גם עבור . n אולם כבר הראינו כי המשפט מתקיים עבור n = 1 ועבור , n = 2 כי (*) ' = 1 ואילו . ( x 2 ) ' = 2 x לכן , לפי האינדוקציה , הוא מתקיים לגבי ? 1 = 3 ולגבי n = 4 וכן הלאה , לכל n טבעי . ax ax ay ax «« = ^ = ^ . f = 2 * cosy = 2 * cos (* 2 ) נוכיח עתה את כלל השרשרת : הוכחה כאשר מוסיפים ל * את הגודל y , Ax משנה את ערכו ב 4 >' ו n 2 . A 2 נוכל לרשום : כי A ? - ) Ay , Ax הם מספרים ממשיים והם מצטמצמים כמו בשברים רגילים . כאשר , Ax- » O גם Ay שואף לאפס ( בתנאי שהגבול am - Ay — . אכן מוגדר . ( לכף שאלה 3 . 7 א . מצא את הנגזרות של הפונקציות : . sin ( 2 x ) , tan * , sin x הערה : sin * מסמן את הפונקציה . ( sinx ) 2 ב . הוכח כי : dx \ y > = y 2 dx - d ^ - / l ^ \\ 1 - 1 dy
|
|