|
|
עמוד:32
הוכחה : נגדיר y = u + v a * - > 0 Ax Ax- > 0 Ax dx dx lim u { x + Ax ) - u ( x ) + lim v ( x + Ax ) - v ( x )_ du . dji = ax - = Ax - > 0 Ax - dy ,. u ( x + Ax ) + v ( x + Ax ) - u { x ) - v ( x ) בכתיב מקוצר אפשר לכתוב זאת כך , (« + v ) ' = u ' + v . כאשר w מסמן את הנגזרת של הפונקציה . u ( x ) דוגמאות : ( sinx + cos *) ' = coax ; - sinx ( x + x ) ' = 2 x + 1 קל לראות כי הנגזרת של u - v היא הנגזרת של u מינוס הנגזרת של ( u-v ) ' = u' v ' ? . v . 2 גזירה של מכפלת שתי פונקציות אס הנגזרות v > u הן פונקציות של * , וקיימות הנגזרות ^ - ^ - אזי הנגזרת של המכפלה Q 1 X CLOC u-v נתונה על ידי : הוכחה : d ( uv ) _ .. u ( x + Ax ) v ( x + Ax ) - u ( x ) v ( x ) dx Ar- ^ 0 Ax נגדיר : v ( x + Ax ) — v ( x ) = Av u ( x + Ax ) - u ( x ) = Au ונרשום את ^ dx 1 ; ax = Ax- > 0 Ax diuv ) ,. am ( u ( x ) + Au )( v ( x ) + Av ) - u ( x ) v ( x ) אם נפתח את הסוגריים ונרשום למען הקיצור v \ u במקום v { x ) - \ u { x ) נקבל : ax Ax ^ o Ax diuv ) _ 1- uv + uAv + vAu + AuAv - uv a * - > 0 l A * Ax Ax = Um l Av Au A ^ Av \ כאשר Ax ^ , ' Ax- > 0 שואף ' ל Ax ^ , ^ dx שואף ' ל ' , ^ dx ו ^ Ax שואף לאחת הנגזרות כפול גודל השואף לאפס . לכן נקבל לבסוף :
|
|