|
|
עמוד:11
ברור כי 0 ≥ x וכי x = 0 ⇔ . x = 0 כמו כן , אכן , ומכאן הטענה . כאשר n = 2 והרכיבים ξ , ξ של x הם ממשיים , נוכל לראות x כנקודה במישור . במקרה זה x אינה אלה המרחק בין x ל – . 0 אם ( η , η) = y היא נקודה אחרת במישור , אז ומספר זה אינו אלא המרחק בין x ו – y במישור . באנלוגיה , נכנה את הגודל y − x בשם המרחק בין x ו – , y גם כאשר C n ∈ . x , y נמשיך באנלוגיה זו . משפט הקוסינוסים במישור טוען כי נשים לב שבמקרה הזה y , x וקטורים ממשיים ולכן x , y מספר ממשי ומכך : נציב זאת בנוסחה הקודמת ונקבל : מאחר ש – 1 ≤ | θ , | sco נובע מ – ( 5 ) כי אי – שוויון זה מכונה אי – שוויון קושי – שוורץ ( Cauchy - Schwarz ) והוא נכון לא רק במישור אלא לכל x , y ב – . C נוכיח זאת תוך שימוש בתכונות א – ד של , . יהי C ∈ α , אז ולכן
|
|