|
|
עמוד:9
מבוא בפרק זה נכיר את מרחבי הילברט ואת תכונותיהם הבסיסיות . המושג " מרחב הילברט " משלב בתוכו שני מבנים מתמטיים - זהו מרחב וקטורי המצויד במכפלה פנימית ובנוסף לכך , מוגדר במרחב זה מושג הגבול של סדרת איבריו . שילוב זה מאפשר לטפל בבעיות רבות תוך שימוש בכלים של אלגברה לינארית ושל אנליזה כאחת . למעשה פגשתם כבר מרחב הילברט אחד , הלא הוא המרחב R n בו עסקנו בקורס " חשבון אינפיניטסימלי . " III בסעיפים 1 . 2 - 1 . 1 נדון באנלוג המרוכב שלו , , C n ובסדרות במרחב זה . תכונותיו של C דומות מאוד לאלה של , R ולכן מטרת הדיון שם היא בעיקר חזרה על המושגים והתוצאות המוכרים לך מלימודיך הקודמים . בסעיף 1 . 3 נעשה הצעד הבא בדרכנו להגדרת מרחב הילברט כללי . מאחר שרוב המרחבים המופיעים בשימושים אינם בעלי מימד סופי , נדון שם במרחב ࡁ המהווה הכללה אינסוף – ממדית של . C אמנם ࡁ הוא רק מקרה פרטי של מרחב הילברט אינסוף – ממדי , אך יתברר לנו בהמשך שזהו מקרה " כללי מאוד " , בדומה לכך ש – C הוא " מקרה כללי " של מרחב הילברט n – ממדי . נראה שלמרחבים C ו – ࡁ יש הרבה מן המשותף , אך תהיו מוכנים להפתעות : ישנן טענות אשר נכונות ב – C אך לא ב – . ࡁ בראש סעיף 1 . 4 נגדיר מרחבי מכפלה פנימית ונביא רשימה מסודרת של המושגים והתכונות הקשורים למרחבים אלה . כאן לא נחדש הרבה שכן מרביתם הופיעו כבר בסעיפים הקודמים . לאחר עבודת הכנה זו נעבור להגדרה כללית של מרחב הילברט ונכיר , בין היתר , דוגמה חשובה נוספת של מרחב הילברט - מרחב הפונקציות . L משהגדרנו מרחבי הילברט נתחיל ללמוד אותם לעומק . בסעיפים 1 . 9 - 1 . 5 נדון במושגים הגיאומטריים כגון ההיטל האורתוגונלי על תת – מרחב , המרחק מנקודה לתת – מרחב , המשלים האורתוגונלי של תת – מרחב וכד ' , מושגים אלה זכורים לכם מאלגברה לינארית , אך יש לשים לב לכך שהגיאומטריה של מרחבים אינסוף – ממדיים שונה מזו של מרחבים ממימד סופי .
|
|