|
|
עמוד:5
פתח דבר אנליזה פונקציונלית היא ענף צעיר יחסית של המתמטיקה אשר התהווה , כדיסצפלינה בזכות עצמה , רק בשנות ה – 20 וה – 30 של המאה שעברה . אולם המושגים היסודיים והשיטות של אנליזה פונקציונלית הלכו ונתגבשו בהדרגה בענפים ותיקים יותר של מתמטיקה . בין אלה נמנים תורת המשוואות הדיפרנציאליות , תורת הקירובים , שיטות נומריות לפתרון משוואות , טורי פורייה ובמיוחד תורת המשוואות האינטגרליות . במהלך התפתחותן של דיסציפלינות אלה התברר , שלשיטות ולמושגים בהם משתמשים שם יש הרבה מן המשותף , וכי יש להם אנלוגיות עמוקות באלגברה לינארית ובגיאומטריה . בצורה פשטנית מאוד אפשר לומר שאנליזה פונקציונלית עוסקת בחקירת תכונות של העתקות ( בעיקר לינאריות אך לאו דווקא ) ממרחב וקטורי אחד למשנהו ( המרחבים אינם בהכרח בעלי מימד סופי ) , כאשר במרחבים אלה מוגדר מושג הגבול של סדרת איבריהם . במסגרת כללית זו ניתן לטפל בצורה אחידה בבעיות שונות של אנליזה קלאסית ולקבל פתרונות פשוטים יותר לבעיות ידועות . יתירה מזו , התפתחותה של האנליזה הפונקציונלית גופא הניבה שורה של תוצאות כלליות בעזרתן פוצחו בעיות שלא מצאו את פתרונן , או שפתרונן לא היה מבוסס דיו , במסגרת שיטות של אנליזה קלאסית . בקורס זה נלמד רק מקצת מן השיטות והמושגים של אנליזה פונקציונלית . החלק הראשון והארי של הקורס עוסק במרחבי הילברט ( Hilbert ) ובהעתקות לינאריות ( המכונות גם אופרטורים לינאריים ) במרחבים אלה . מרחבי הילברט מהווים הכללה אינסוף – ממדית של מרחבי מכפלה פנימית בהם עוסקת אלגברה לינארית . החלק השני של הקורס מוקדש למרחבים כלליים יותר , ומכונים מרחבי בנך ( . ( Banach שם נכיר את " שלושת העקרונות היסודיים של אנליזה לינארית " . אלה הם משפט האן – בנך ( , ( Hahn – Banach משפט הגרף הסגור ועקרון החסימות במידה שווה , עליהם מושתתת תורת האופרטורים הלינאריים במרחבי בנך . לסיום , נדון בקצרה באופרטורים לא לינאריים . 1 עניין רב יש גם בחקירת תכונותיהם של מרחבים כאלה עצמם .
|
|