|
|
עמוד:13
שאלה 5 יהי ( S ( E , E ∈ A ויהי x k ∑ טור מתכנס ב – . E k הוכיחו כי הטור Ax ∑ מתכנס ב – , E ומתקיים : k התשובה בעמוד 917 שאלה 6 יהי H מרחב הילברט ספרבילי עם בסיס אורתונורמלי { , … ϕ , ϕ } , ויהיו ( S ( H , E ∈ , . A , B הוכיח ו כי אם n ϕ = B ϕ A לכל , n אז . A = B לשון אחר , אופרטור לינארי חסום נקבע באופן חד משמעי על – ידי ערכיו על איברי בסיס אורתונורמלי של תחומו . זוהי הכללה של התוצאה הידועה בדבר טרנספורמציות לינאריות במרחבים סוף – ממדיים . אך שימו לב : בניגוד למקרה הסוף – ממדי , בחירה שרירותית של וקטורים … , y , y ב – E אינה מבטיחה את קיומו של אופרטור ( S ( H , E ∈ A המקיים = y n ϕ , A לכל 1 ≥ n ( ראו דוגמה ב בסעיף הבא ) . התשובה בעמוד 917 לעיתים יש צורך לדון באופרטורים לינאריים H → A : M כאשר M הוא תת – מרחב צפוף של מרחב הילברט . H את תחומו M של A מסמנים אז ( K ( A ומגדירים כצפוי אופרטורים כאלה מקורם , על – פי רוב , במשוואות דיפרנציאליות והם דווקא אינם חסומים . למשל , אופרטור הגזירה ′ Df = f אינו מוגדר בכל [ , L [ 0 , 1 שכן יש פונקציות ( אפילו רציפות ) אשר אינן גזירות בשום מקום . יתירה מזו , ייתכן כי ′ f קיימת כ . ב . מ . ב – [ 0 , 1 ] אך אינה שייכת ל – [ L [ 0 , 1 ( למשל 1 4 − . ( f ( t ) = t לכן נגביל את עצמנו באוסף ( K ( D של אותן הפונקציות ב – [ L [ 0 , 1 אשר גם נגזרותיהן שייכות למרחב זה . ברור כי ( K ( D צפוף ב – [ , L [ 0 , 1 שכן הוא מכיל את כל הפולינומים . נתבונן בסדרת הפונקציות אז , f n = 1 בעוד ש – ( בדקו ) , ולכן ∞ = . D
|
|