|
|
עמוד:10
בעקבות המשפט שהוכחנו נביא הגדרה חשובה . הגדרה 3 . 3 הנורמה , , A של אופרטור לינארי E → A : E מוגדרת על – ידי כאשר ∞ < , A אומרים כי A חסום . הערות א . מהשקילות א ⇔ ד שבמשפט 3 . 2 נובע אפוא , כי אופרטור לינארי הוא רציף אם ורק אם הוא חסום . מאחר שבהמשך נעסוק אך ורק באופרטורים לינאריים , נשתמש לגביהם בתארים " רציף " ו " חסום " לסירוגין , כשאנו זוכרים שתארים אלה שקולים . ב . אם נעיין שוב בהוכחת הגרירות ד ⇐ ג ו – ג ⇐ ד , נקל להבין ( לאור הגדרה 3 . 3 ) כי למעשה הוכחנו שם את התכונות הבאות של אופרטור לינארי : A ( i ) אם A חסום , אז ( ii ) אם אז A חסום ומקיים K ≤ . A זכרו תכונות אלה , כי נרבה להשתמש בהן בהמשך . ג . שימו לב שמתכונה ( i ) נובע , כי לכל E 1 ∈ x , y מאי – שוויון זה , המזכיר את תנאי ליפשיץ שהופיע בקורס " משוואות דיפרנציאליות רגילות " , נובע שהפונקציה Ax → x רציפה במידה שווה . יתירה מזו , הוא מאפשר להעריך את קצב ההשתנות של פונקציה כזו , ובכך חשיבותו של מושג הנורמה של . A נבהיר את המשמעות הגיאומטרית של הגדרה . 3 . 3 יהי { 1 ≤ B = { x : x כדור היחידה של . E אופרטור A מעתיק כדור זה על הקבוצה { AxxB ∈ : } A ( B ) = ב – . E מהגדרה 3 . 3 נובע , כי A חסום אם ורק אם ( A ( B היא קבוצה חסומה ב – , E ואם כך הדבר , אז ( A ( B מוכלת בכדור ברדיוס , A וזהו הכדור הקטן ביותר המכיל את ( . A ( B נביא שתי דוגמאות פשוטות לאופרטורים חסומים . דוגמאות נוספות תראו בסעיף הבא .
|
|