|
|
עמוד:9
הראינו אפוא , כי התנאים א ו – ב שקולים . נוכיח עתה את הגרירות א ⇐ ג ⇐ ד ⇐ ג ⇐ ב , ובכך נסיים . א ⇐ ג נתון כי A רציף , ובפרט הוא רציף ב – . 0 מהגדרה 3 . 1 נובע , כי אפשר למצוא > 0 δ כך שיתקיים : Ay < 1 ⇒δ < y x δ δ לכל E 1 ∈ x ≠ , 0 הנורמה של הווקטור = y היא , ולכן נקבל כי 2 2 x ( השוויון נובע מהלינאריות של A ומתכונות הנורמה ) . הראינו אם כן , כי לכל 0 ≠ x 2 x ≤ Ax δ אי – שוויון זה מתקיים גם עבור , x = 0 שכן A 0 = 0 בהיות A לינארי , ובכך הוכחנו את האי –שוויון 2 ( 1 ) שבניסוח המשפט , עם = . K δ ג ⇐ ד זה פשוט : אם 1 ≤ x אז לפי ( K , ( 1 ≤ Ax וממילא ד ⇐ ג נסמן : x לפי הנתון , ∞ < . K לכל 0 ≠ , x הווקטור הוא בעל נורמה 1 ומכאן ש – x כלומר כנדרש . האי – שוויון מתקיים , כמובן , גם עבור . x = 0 ג ⇐ ב ε די להראות כי A רציף ב – . 0 בהינתן > 0 ε נבחר = δ , ונסיק מ – ( 1 ) כי אם δ < x אז K ε < Ax כלומר A אכן רציף ב – ¸ . 0
|
|