בסעיפים 8 . 6 ו- 8 . 7 נתמקד בטענות המייחסות תכונה P כלשהי לכלל המספרים הטבעיים : טענה : לכל n טבעי ( מתקיים ) ] . P ( n ) כל המספרים הטבעיים הם בעלי התכונה [ . P ההגדרה האקסיומטית של המספרים הטבעיים ( ראו סעיף 5 . 9 עמ ' ( 159 מובילה לטכניקה יעילה להוכחת טענות כוללניות מתבנית זו , שנקראת הוכחה באינדוקציה מתמטית . למען שלמות הדיון נחזור ונזכיר לשם כך את אקסיומת האינדוקציה : אם קבוצה M של מספרים טבעיים מקיימת : - המספר 1 כלול ב- , M - לכל מספר טבעי הכלול ב , M - גם המספר העוקב ל ו כלול ב , M - אזי M היא קבוצת כל המספרים הטבעיים . הוכחה באינדוקציה מתמטית טענה : תבנית הטיעון הבאה תקפה : 1 הוא בעל התכונה P אם k - 1 הוא בעל התכונה , P אזי k הוא בעל התכונה P › כל המספרים הטבעיים הם בעלי התכונה . P [ המספר העוקב ל k -1 - הוא [ . k הוכחה : יש להוכיח ש אם שתי הנחות הטיעון שלפנינו הן אמת , ה ' מסקנה ' היא בהכרח אמת . נתבונן לשם כך בקבוצה הבאה - M : קבוצת כל המספרים הטבעיים שהם בעלי התכונה . P על פי ההנחה הראשונה של הטיעון - המספר 1 כלול . M-ב
אל הספר