פתרונות למשימות

208 | פרקטלים - כשמתמטיקה פוגשת מדע, טבע ואומנות ממד האוסדורף של המשטח התחום על ידי מעוין הוא 2 . ממד זה זהה לממד הטופולוגי שלו . מכאן שמדובר בצורה שאינה פרקטל . באופן דומה, נקבל את אותן התוצאות גם עבור מלבן . פתרון משימה 3 : חישוב ממד האוסדורף של פרקטלים _ 1 = s בכל אחד מחמשת המקרים הנתונים, גורם קנה המידה, ,s נשאר קבוע ) 3 _ 1 = s במקרה 5 ) . כפי שאפשר לראות, בתהליך הבנייה מתקבל במקרים 1 - ,4 4 בכל אחד מהמקרים גם p קבוע . כך למשל, 4 = p עבור המקרה הראשון . המשמעות היא שעבור כל אחד מהמקרים, אפשר למצוא את d . נסכם את הממצאים בטבלה הבאה : _ 1 = sPp מקרה s d פרקטל זה מכונה בשם "אבק קנטור" ( Cantor Dust ) _ 1 _ 1 = 4 4 3 d = 3 d ( 1 _ ) 3 d < 2 < 1 d = log ( 4 ) _ log ( 3 ) = 0 . 6020 _ 2617 . 1 = 4771 . 0 _ 1 _ 1 = 3 3 3 _ 1 ( d = 3 d ) 3 d = 1 פרק רביעי . על ממדים שלמים ושבורים | 209 _ 1 = sPp מקרה s d פרקטל זה נקרא בשם "פרקטל ויצ'ק", על שמו של המדען ההונגרי תומאש ויצ'ק ( Tamás Vicsek ) _ 1 _ 1 = 5 5 3 _ 1 ( d = 3 d ) 3 d < 2 < 1 d = log ( 5 ) _ log ( 3 ) = 0 . 6989 _ 4648 . 1 = 4771 . ...  אל הספר