נספח תכונות אקסטרמליות של ערכים עצמיים

בפרק זה התרכזנו בהיבטים תיאורטיים של תורה ספקטרלית , ולא נגענו ביישומיה השונים . יישומים אלה כרוכים מן הסתם במציאת ערכים עצמיים של אופרטור נתון . אולם לא תמיד ניתן למצוא אותם במפורש , ולכן מתעורר הצורך בפיתוח שיטות נומריות לחישוב מקורב של ערכים עצמיים . אחת השיטות האלה מבוססת על תכונה אקסטרמלית של ערכים עצמיים , אותה נביא בנספח זה . יהי A אופרטור קומפקטי חיובי . כיוון שכך , 0 ≥ Ax , x לכל x ולכן נסיק ממשפט 5 . 5 ( רא ו גם את ההערה בעקבות הוכחת משפט זה ) , כי מכאן נובע כי ה מערכת הבסיסית { n λ } n } , ϕ } , שנבנתה בהוכחה השנייה של המשפט הספקטרלי , מקיימת שימו לב , כי … > 0 λ ≥ λ . לנוסחאות אלה יש מגרעה והיא שבבואנו לחשב את λ עלינו לדעת את הווקטורים העצמיים הקודמים 1 − n ϕ , … , ϕ . במשפט הבא נביא נוסחה לחישוב ישיר של λ . לתוצאה זו שימושים רבים , במיוחד בשיטות נומריות לחישוב מקורב של λ . משפט 5 . 12 יהי ( S ( H ∈ A אופרטור קומפקטי חיובי . תהי { n λ } מערכת בסיסית של ערכים עצמיים של , A כשהם מסודרים לפי גודלם : … > 0 ≥ λ ≥ λ . אז כאשר 1 − M n מסמן תת – מרחב כלשהו של , H שמימדו שווה ל – ( ...  אל הספר