שורשים של פולינומים

הגדרה 3 . 23 שורש של פולינום מספר ממשי a הוא שורש של פולינום ( P ( x אם ורק אם  . P ( a ) = 0 דוגמאות ( 1 ) יהי ( P ( x הפולינום P ( x ) = x - x + 6-x נציב ב- ( , x = 3 , x = 2 , x = 1 P ( x ונקבל : P ( 1 ) = 1 1- + -1 6 = 5- ≠ 0 P ( 2 ) = 2 - 2 + -2 6 = 0 P ( 3 ) = 3 - 3 + -3 6 = 15 ≠ 0 לפיכך 2 הוא שורש של ( , P ( x ואילו 1 ו- 3 אינם שורשים של ( . P ( x ( 2 ) שום מספר ממשי a אינו שורש של הפולינום , x + 1 כי לכל a ממשי מתקיים , a < 0 לכן . a + 1 > 0 מאחר ש- P ( a ) ≠ 0 לכל , a ∈ R הרי ששום a ממשי אינו שורש של . P ( 3 ) כל a ממשי הוא שורש של פולינום האפס . משפט 3 . 24 a הוא שורש של פולינום ( P ( x אם ורק אם x - a מחלק את ( . P ( x הוכחה כיוון אחד : נניח ש- ( , ( x - a ) | ( Px ונוכיח ש- a הוא שורש של ( . P ( x מן ההנחה נובע שיש פולינום ( , K ( x כך ש- ( . P ( x ) = ( x - ) aK ( x השוויון הוא שוויון בין פונקציות , לכן נובע ממנו בפרט : Pa ) = ( -a ) aK ( a ) = 0 K ( a ) = 0 ) הווי אומר , P ( a ) = 0 כלומר a הוא שורש של ( . P ( x הכיוון האחר : נניח ש- a הוא שורש של ( , P ( x ונוכיח ש- ( ....  אל הספר