חילוק פולינומים עם שארית

נזכיר תחילה תוצאה ידועה בקשר למספרים הטבעיים , המוכרת בכינוי משפט החילוק עם שארית . אם m מספר טבעי כלשהו , ו- n מספר טבעי שונה מ- , 0 אז יש מספרים טבעיים k ו- r כך ש- )* m = kn + r , 0 ≤ r < n ) יתר על כן : k ו- r הממלאים את (*) נקבעים באופן יחיד . ( למשל : עבור m = 21 , n = 17 מתקיים , 21 = 1  17 + 4 עבור m = 45 , n = 12 מתקיים , 45 = 3  12 + 9 עבור m = 72 , n = 9 מתקיים . 72 = 8  9 + 0 ) בהצגות מהטיפוס m , m = kn + r הוא המחולק , n הוא המחלק , k הוא המנה , r הוא השארית . בהינתן m ו- , n עשויות להיות דרכים שונות להציג את m ככפולה של n ועוד שארית . למשל , אם המחולק m = 21 והמחלק , n = 5 אפשר לרשום 21 = 1  5 + 16 = 2  5 + 11 = 3  5 + 6 = 4  5 + 1 המנות והשאריות שבהצגות אלה ( שבכולן אותו מחולק ואותו מחלק ) הן שונות . בין ההצגות השונות יש רק אחת שבה השארית קטנה מהמחלק , והיא . 21 = 4  5 + 1 התוצאה האנלוגית בקשר לפולינומים היא : משפט 3 . 22 חילוק פולינומים עם שארית אם ( P ( x פולינום כלשהו , ו- ( Q ( x פולינום שאינו פולינום האפס , אז קיימים מנה ( K ( x ושארית ( R ( x יחידים , כך ש-...  אל הספר