|
|
עמוד:13
ולכן בהחלפת x ו – y בתפקידיהם , נקבל מכאן כי אולם y − x = x − y ( לפי ( ( 4 ) ולכן נסיק משני האי – שוויונים האחרונים שמתקיים : xy − ≤ y − 11 ) x ) גם לאי – שוויון זה יש פירוש גיאומטרי במישור והוא : אורך כל צלע במשולש גדול מהפרש אורכיהן של שתי הצלעות האחרות . נחזור לשוויון ( 5 ) ממנו אנו למדים כי שני וקטורים ( שונים מ – x , y ( 0 במישור ניצבים זה לזה אםם . x , y = 0 לאור זאת נגדיר את הניצבות ב – : C נאמר כי C ∈ x , y אורתוגונליים ונרשום y ⊥ x אם . x , y = 0 בפרט , 0 ⊥ x לכל C n ∈ . x 2 2 2 מהגדרה זו ומן השוויון x + y = x + 2 Re , + xyy נובע כי x + y = x + y 2 ⇒ y ⊥ 12 ) x ) תכונה זו נקראת משפט פיתגורס , בשל האנלוגיה שיש לתכונה זו במישור . קבוצת וקטורים ב – C נקראת מערכת אורתוגונלית אם היא לא מכילה את וקטור האפס וכל שני וקטורים בה אורתוגונליים זה לזה . כאשר כל וקטור בקבוצה זו הוא וקטור יחידה ( דהיינו בעל נורמה , ( 1 נאמר כי זוהי מערכת אורתונורמלית . כל מערכת אורתוגונלית אשר אינה מכילה את וקטור האפס ( בפרט , כל מערכת אורתונורמלית ) היא לעולם בלתי – תלויה לינארית . k אכן , יהיו x , … , x k וקטורים כלשהם במערכת כזו . אם x = 0 α ∑ אז לכל k ≤ j ≤ 1 i = 1 מתקיים : 2 לפי הנתון , x , y j = 0 אם j ≠ i כך שהסכום האחרון מצטמצם לאיבר יחיד , j x j α . אם כן , 1 שימו לב שהגרירה ההפוכה לזו שב – ( 12 ) נכונה רק במקרה הממשי .
|
|