|
|
עמוד:13
ב . תהי { 0 } ≠ B קבוצה במרחב וקטורי ממשי , V שהיא סימטרית , קמורה ובולעת . הוכיחו כי ניתן להגדיר נורמה ב – , V כך שכדור היחידה לפי נורמה זו יתלכד עם . B רמז : עיינו בפונקציה 1 0 ≠ p ( x ) = , x δ x כאשר x δ מוגדר בסעיף א של השאלה . התשובה בעמוד 613 טענת שאלה 2 ב מספקת דרך גיאומטרית להגדיר נורמות שונות במרחב נתון . נתבונן , למשל , 2 במישור , R עם ההגדרה הרגילה של המרחק בין שתי נקודותיו . כלומר , אם ( ξ , ξ) = x אז 2 2 ξ + ξ = . x כדור היחידה לפי נורמה זו הוא העיגול 1 2 { 2 2 }1 ≤ξ + ξ : (ξ , ξ) = B 1 12 2 נסתכל עתה בקבוצה B 1 המתוארת באיור הבא . זוהי קבוצה קמורה וסימטרית ביחס לראשית . עבור כל נקודה 0 ≠ x במישור , נעביר קרן דרך x והראשית , O ונסמן ב – ′ x את נקודת החיתוך של קרן זו עם השפה של B ( ראו איור ) . ברור אז כי לכל 0 ≠ , x המספר x δ קיים והוא מוגדר על – ידי ′ Ox = δ x Ox כאשר ′ Ox , xO מסמנים את המרחקים בין הראשית לבין ′ x , x בהתאמה . כלומר B היא קבוצה 2 בולעת , ולכן היא מגדירה נורמה חדשה ב – , R על – די Ox = x 1 ′ xO
|
|