|
|
עמוד:10
ניקח קבוצות אורתונורמליות { 2 ψ , ψ } ו – { 2 ϕ , ϕ } ב – E וב – E בהתאמה , ונגדיר לכל E 1 ∈ 2 x ϕ 2 ψ , 1 , Bx = x ϕ 1 ψ , Ax = x אז 2 2 2 2 , ψ , + x ψ , ABx = x (−) = A + ) Bx ) 1 2 2 2 2 2 ψ , Bx = x , ψ , Ax = x 1 2 מכך נקל להסיק כי AB = 1 − = , A = B = + AB ולכן ( 2 ) אינו מתקיים . › מסתבר , שקיום זהות המקבילית הוא הוא המבדיל בין מרחבים נורמיים לבין מרחבי מכפלה פנימית . משפט 6 . 2 מרחב נורמי V הוא מרחב מכפלה פנימית , כלומר , ניתן להגדיר בו מכפלה פנימית היוצרת את הנורמה הקיימת בו , אם ורק אם לכל V ∈ x , y מתקיימת זהות המקבילית 2 2 2 2 xy = 2 x + 2 y − + 3 ) x + y ) הוכחה בסעיף 1 . 4 הוכחנו כי בכל מרחב מכפלה פנימית מתקיימת זהות המקבילית ( רא ו שם נוסחה ( 3 ) וההוכחה שאחריה ) , ולכן נותר להוכיח כי אם במרחב נורמי מתקיימת זהות המקבילית אז ניתן להגדיר מכפלה פנימית במרחב זה , כך שמכפלה זו תיצור את הנורמה המוגדרת במרחב . נטפל תחילה במקרה של מרחב ממשי . נשים לב שבמרחב מכפלה פנימית ממשי מתקיים : 2 2 2 , x ± y = x ± 2 , + xyy ולכן ( 1 xyxy) −− + = 4 ) x , y ) 4 לכן , בבואנו לבנות את המכפלה הפנימית הדרושה , אין מנוס מלהגדיר אותה לפי הנוסחה ( . ( 4 מנוסחה זו נובע , לפי תכונה ( ii ) שבהגדרה , 6 . 1 כי 2 x , x = x ולכן מתקיים , לפי תכונה ( i ) שבאותה הגדרה , 1 / 2 x , x = x כלומר , המכפלה הפנימית שהגדרנו יוצרת את הנורמה הקיימת במרחב , כנדרש . כל זה טוב ויפה , אבל יש גם לבדוק , כי נוסחה ( 4 ) אכן מגדירה מכפלה פנימית , כלומר מתקיימים ארבע ת התנאים הבאים : א . 0 ≥ , x , x ו – x , x = 0 אםם . x = 0 ב . . x , y = y , x
|
|