פרק א: מרחבים וקטוריים

עמוד:11

אם תהליך זה יסתיים אחרי מספר סופי של צעדים , נגיע לשוויון { V = Sp { v , … , v , v , … i i i + 1 1 n n כאשר , v i לכל , i > i n הוא צירוף לינארי של v i , … , v i ( שהם בלתי – תלויים לינארית ) . 1 n לכן { V = Sp { v i , … , v ומאחר ש – v i , … , v i בלתי – תלויים לינארית הרי זהו בסיס 1 n 1 n של . V אם תהליך זה לא מסתיים תתקבל סדרה אינסופית { K = { v i , v i … כך שכל רישא שלה בלתי– 1 2 תלויה לינארית , ולכן כך גם . K כמו כן , כל וקטור , v i עבור … , i , i ≠ , i הוא צירוף לינארי של א יברי K עם אינדקסים קטנים מ – . i מכאן נובע כי V = Sp K ומאחר ש – K בלתי – תלויה לינארית זהו בסיס של ¸ . V המימד של מרחב וקטורי אם { V = Sp { v , … , v ≠ { , { 0 אומרים כי V נוצר סופית . במקרה זה התהליך שתואר בהוכחת טענה א – 1 בהכרח יסתיים לאחר n צעדים לכל היותר . אי לכך , למרחב נוצר סופית קיים בסיס סופי . אפשר להוכיח כי כל הבסיסים של מרחב נוצר סופית מונים אותו מספר וקטורים . מספר זה נקרא המימד של , V ומסומן . mdi V גם המרחב הטריוויאלי { 0 } נחשב למרחב נוצר סופית , שמימדו הוא . 0 הטענה הבאה שימושית מאוד : טענה א - 2 נניח כי V נוצר סופית ויהי 1 ) mdi V = n ≥ . ( n אז : א . שום קבוצה בת m וקטורים , , m < n איננה פורשת את . V ב . כל קבוצה בת m וקטורים , , m > n תלויה לינארית . ג . כל קבוצה בת n וקטורים אשר פורשת את V היא בהכרח בלתי – תלויה לינארית ולכן היא בסיס של . V ד . כל קבוצה בת n וקטורים ובלתי – תלויה לינארית בהכרח פורשת את V ולכן היא בסיס של . V ה . אם הקבוצה { , m < n , { v , … , v בלתי – תלויה לינארית אז ניתן להשלימה לבסיס של V על – ידי צירוף m − n וקטורים . כאשר V אינו נוצר סופית , כל בסיס שלו מכיל אינסוף וקטורים . יהיו K 2 , K 1 שני בסיסים כאלה . מסתבר שאז קיימת התאמה חד – חד – ערכית ועל בין K 1 ו – , K ומבחינה זו יש לשני בסיסים אלה " אותו מספר איברים " . לכן , למשל , כל בסיס של P הוא בן – מנייה , בדומה לבסיס { . { 1 , x , x , … 1 רא ו משפט V . 72 בקורס " אלגברה לינארית . " I 2 רא ו משפטים V . 03 , V . 27 בקורס " אלגברה לינארית . " I

לעמוד קודם  |  לעמוד הבא