פרק א: מרחבים וקטוריים

עמוד:8

› דוגמאות א . יהי R n אוסף כל ה – n – יות הסדורות של מספרים ממשיים , כאשר החיבור והכפל בסקלר R ∈ α מוגדרים כך : אם ( ξ , … , ξ) = ) , x η , … , η) = y אז ( η + ξ , … , η + ξ) = x + y 1 1 n n ( ξ α , … , ξα) = x α 1 n פעולות אלה מקיימות את כל התכונות הנדרשות ולכן R n הוא מרחב וקטורי ממשי . ב . יהי C n אוסף כל ה – n – יות הסדורות של מספרים מרוכבים , כאשר החיבור והכפל בסקלר C ∈ α מוגדרים כדלעיל . C n הוא מרחב וקטורי מרוכב . ג . הקבוצה [ C [ a , b של כל הפונקציות הרציפות בקטע [ , [ a , b עם הפעולות הסטנדרטיות של חיבור פונקציות וכפל של פונקציה בסקלר מהווה מרחב וקטורי . זהו מרחב ממשי אם מדובר בפונקציות ממשיות ובכפל בסקלר ממשי , ו מרחב מרוכב אם מדובר בפונקציות בעלות ערכים מרוכבים ובכפל בסקלר מרוכב . › קבוצה חלקית של מרחב וקטורי V אשר סגורה ביחס לפעולות שהוגדרו ב – V מהווה מרחב וקטורי בזכות עצמו , והוא נקרא תת – מרחב של . V למשל , הקבוצה P של כל הפולינומים עם מקדמים ממשיים , נאמר , מהווה תת – מרחב של [ C [ a , b הממשי לכל בחירה של הקטע [ . [ a , b כל תת – מרחב מכיל בהכרח את וקטור האפס . הקבוצה { 0 } המכילה וקטור זה בלבד נקראת תת – מרחב טריוויאלי של המרחב הנדון . הערה ברור כי C n ⊂ R וכי R סגור ביחס לחיבור וקטורים . אולם R n אינו סגור ביחס לכפל בסקלר מרוכב ולכן אין זה תת – מרחב של . C n עם זאת , R n סגור גם ביחס לכפל בסקלר אם מדובר בסקלרים ממשיים . לכן נוהגים לומר ש – R הוא תת – מרחב ממשי של . C n צירופים לינאריים n בהינתן מספר סופי של איברי ם V ∈ , x , … , x נוכל ליצור וקטור x i α ∑ , באשר F ∈ α . i = 1 וקטור זה מכונה צירוף לינארי של , x , … , x n והסקלרים i α מכונים מקדמי הצירוף . נדגיש כי צירוף לינארי הוא תמיד סכום סופי . תהי V ⊆ K קבוצת וקטורים כלשהי , סופית או אינסופית . אוסף כל הצירופים הלינאריים של איברי K נקרא המרחב הנפרש על – ידי K וסימנו . KSp

לעמוד קודם  |  לעמוד הבא