א. שדות

עמוד:15

. niLi a i יקבע אחת לתמיד . // 0 = 1-ש גם כלל פילוג הכפל מעל החיבור עובר ללא בעיות למחובריס רבים . , PNI אם b-1 a 1 ,..., an איברים בשדה מתקיים = £ " ba { (• a , ! , &( ££ דבר שניתן להוכיח בדרך האינדוקציה על . n G ratnp-TiTi של שדה F נקראת תת-שדח של י ,. ? אם היא מכילה את -ו 0 1 ומהווה בעצמה שדה לגבי פעולות החיבור והכפל המוגדרות על F כדי להראות שתת-קבוצה G של F היא תת-שדה , מספיק לנו להראות שהיא סגורה תחת חיבור וכפל ושהיא מכילה את הנגדי והפכי של כל איבר בה השונה . 0-מ כאמור , בחתו את האקסיומות הללו כך ! -ש יהיה שדה ואנו תאים Q-v מהווה אז תת-שדה של שדה זה . הדבר החשוב הוא שישנן גם דוגמאות רבות אחרות של שדות . דוגמאות : c = K x R > rm ( 1 ) קבוצת כל הזוגות ( a , 6 ) של מספרים ממשיים ונגדיר פעולת חיבור על C על ידי ( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) ופעולת כפל על ל ) על ידי . ( a , b ) ( c , d ) = ( ac-bd , ad + bc ) ניתן לבדוק ש «> ועליו הפעולות הללו מהווה שדה , שבו לכל איבר ( a , b ) מתקיים -ו - ( a , 6 ) = ( -a , 6 ) כאשר . { a , b ) ( 0 , 0 ) השדה c נקרא שדה המספרים חמרוכמם . קבוצת כל איברי ^ C מהצורה ( 0 , 0 ) מהווה תת-שדה של c שאותה אנו מזהים עם שדה המספרים הממשיים R כך שהמספר הממשי 0 מזוהה עם המספר המרוכב . ( 0 , 0 ) את המספר המרוכב ( 0 , 1 ) נהוג לסמן » -ב . מהגדרת הכפל נובע ש- pin ' 0 = ( -1 , 0 ) לעתים קרובות גם כותבים . % = ץ / = 1 אם a , & & » אזי . (« > 6 ) = ( a , 0 ) + ( 6 , 0 ) ? ( 0 , 1 ) כד . אנו תאים שכל איבר NYI c-1 מהצורה a + bi כאשר & -ו 0 מספרים ממשיים , pw בדרך זו נהוג לסמן את המספרים המתכבים . לשדה C חשיבות רבה במתמטיקה . מבחינה גיאומטרית , אם אנו מזהים את R עם הישר , כנהוג בגיאומטריה אנליטית , הרי pwi טבעי c מזוהה עם המישור . אס z = a + bi £ C נכתוב z = a - u ו- . | 2 | = \ fz i = Va ? + b נשים לב | 2 | -ש תמיד

לעמוד קודם  |  לעמוד הבא