הגדרות ומשפטים

משפט 1 . 1 יהי { 0 } ≠ L תת – מרחב של . C n אז יש ל – L בסיס אורתונורמלי . טענה 1 . 2 אם x → x אז x → . x k בפרט , סדרה מתכנסת היא בהכרח חסומה . טענה 1 . 3 תהי { x } סדרה ב – C ותהי { α } סדרת מספרים מרוכבים . אם x → x וכן α → k α , אז x α → x α . טענה 1 . 4 אם x → y , x → y אז xy , → . x , y k בפרט אם x → , x אז לכל C n ∈ , xy , y → . x , y טענה 1 . 5 סדרת מספרים מרוכבים { α } מתכנסת אםם היא סדרת קושי . משפט 1 . 6 סדרה { x } ב – C מתכנסת אםם היא סדרת קושי . משפט 1 . 7 משפט בולצאנו - ויירשטראס כל סדרה חסומה ב – C מכילה תת – סדרה מתכנסת . משפט 1 . 8 תהי C n ⊂ K סגורה וחסומה , ותהי C → f : K רציפה ב – K אז f חסומה ב – . K יתירה מזו , אם ערכיה של f ממשיים ( כלומר R → f : K ) אז f משיגה את המקסימום ואת המינימום שלה ב – . K משפט 1 . 9 סדרה ב – ࡁ מתכנסת אםם היא סדרת קושי . הגדרה 1 . 01 מרחב מכפלה פנימית נקרא שלם אם כל סדרת קושי בו מתכנסת . מרחב כזה מכונה גם מרחב הילברט , והוא יסומן באות . H טענה 1 . 11 תהי { f } סדרת פונקציות ב – [ L [ a , b אשר מתכנסת כ . ב . מ . ל – , f ונניח כי קיימ...  אל הספר