יהי [ D = [ a , b ] × [ a , b ריבוע במישור . הגדרת המרחב ( L ( D דומה מא וד לזו של [ . L [ a , b זהו אוסף כל הפונקציות f של שני משתנים , אשר מדידות ב – D ומקיימות : 2 ∞ < f ( , st ) dsdt ∫∫ כשאנו מסכימים לא להבחין בין שתי פונקציות אשר שוות כ . ב . מ . ב – . D כמו במקרה החד – ממדי , מראים כי ( L ( D הוא מרחב וקטורי וכי הנוסחה מגדירה מכפלה פנימית בו . אפשר להוכיח כי ( L ( D הוא מרחב הילברט . המשפט שלהלן מספק דרך אחת לבניית בסיסים אורתונורמליים במרחב זה . משפט 2 . 11 יהי ∞ { k ϕ } בסיס אורתונורמלי של [ . L [ a , b לכל N × N ∈ ( i , j ) נגדיר 1 … , t ) , i , j = 1 , 2 )ϕ ( s )ϕ = ( s , t ) Φ ( 2 ) ij i j אז { Φ } הוא בסיס אורתונורמלי של ( . L ( D הוכחה מ – ( 1 ) ו – ( 2 ) ולפי ההערה שלאחר משפט פוביני ג – 21 ביחידת ההכנה מתקיים : בשל האורתונורמליות של { ϕ } נקבל כי 1 השוו לדיון בסעיף 4 של פרק ג ביחידת הכנה . 2 רא ו למשל : , A . N . Kolmogorov , S . V . Fomin , Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis Volume 2 , Graylock Press , 1961 , pp . 81 – 82 .
אל הספר