בסעיף הקודם הצגנו ( דוגמאות ג - ה ) מערכות אורתונורמליות ב – [π , π−] L וב – [ 1 , 1 −] . L כאן נוכיח את שלמותן ובעזרתן נבנה גם בסיסים אורתונורמליים במרחב [ L [ a , b כאשר [ a , b ] קטע ( סופי ) כלשהו . נפתח בקבוצה זוהי מערכת אורתונורמלית ב – [π , π−] L ( בדקו ) . על מנת להוכיח את שלמותה , די להראות ( לפי משפט 2 . 10 ) כי [π , π−] . Sp K = L איברי Sp K אינם אלא פולינומים טריגונומטריים N ( c cos + sin xnxdn ) ∑ + 1 ) T ( x ) = c ) n = 1 עלינו להראות אם כן , כי לכל [π , π−] L ∈ f ולכל > 0 ε קיים T מהצורה ( 1 ) המקיים : ε < T − 2 ) f ) נניח תחילה כי f ממשית , לפי שאלה 02 בפרק 1 קיימת g רציפה המקיימת : 3 ε < g − 3 ) f ) עבור g זו , נמצא h רציפה המקיימת : = 0 (π) = h (π−) 3 , h ε < h − 4 ) g ) כדי להיווכח בקיום h כזו , עיינו באיור שלפניכם : מאחר ש – h רציפה ב – [π , π −] ומקיימת (π) = h (π−) , h נוכל למצוא פולינום טריגונומטרי T ( עם מקדמים ממשיים ) המקיים : π ≤ x ≤ π − , 8 ε < T −( 5 ) h ( x ) זוהי מסקנה ממשפט Fej י r אותו הוכחנו ביחידה 8 בקורס " משוואות דיפרנציאליות רגילות " ( רא ו משפט 8 ...
אל הספר