תנאי הכרחי להתכנ סות אם x k ∑ מתכנס אז 0 → . x k אכן , 0 → 1 − s kk − x k = s שכן { s } מתכנסת . שימו לב שההיפך אינו נכון בדרך כלל . למשל , 0 → e k − k אולם הטור 1 2 e k − k ∑ אינו k מתכנס ב – ࡁ ( רא ו דוגמה ב להלן ) . התכונה הבאה נכונה רק במרחב הילברט . טענה 2 . 5 תהי { x } סדרה במרחב הילברט . H אם x k ∑ מתכנס ( זהו טור מספרים ) אז x k ∑ k k מתכנס ב – . H יתרה מזו , ניתן לשנות באופן כלשהו את סדר האיברים של הטור , מבלי לשנות את סכומו . הוכחה עבור m > n מתקיים ( רא ו ( : ( ( 1 באשר S n מסמן את הסכום החלקי ה – – n י של הטור x k ∑ . k זה האחרון מתכנס ולכן { S } היא סדרת קושי ( של מספרים ) . מכאן ומ – ( 2 ) נובע כי ∞→ 0 , , mn → S − S ≤ s − s m n m n כלומר { s } היא סדרת קושי ב – . H אך H שלם ולכן { s } מתכנסת , משמע x k ∑ מתכנס ב – . H k נסמן אפוא x k ∑ = x ונוכיח את החלק השני של הטענה . k יהי x ' k ∑ טור המתקבל מ – x ∑ על – ידי שינוי סדר איבריו . לכל > 0 ε נמצא N כך שיתקיים k k
אל הספר