מבוא

בפרק זה נדבר בעיקר על הצגת וקטורים במרחב הילברט כ " צירוף לינארי אינסופי " של א יברי קבוצה מסוימת של וקטורי המרחב . גישה זו מזכירה הצגת וקטורים כצירוף לינארי של א יברי בסיס במרחב סוף – ממדי ונועד לה , כצפוי , תפקיד מרכזי בכל הקשור במרחבי הילברט . תהי { ϕ , … , ϕ } מערכת אורתונורמלית בת n וקטורים במרחב מכפלה פנימית n – ממדי . E מערכת כזאת מהווה , כידוע , בסיס ( אורתונורמלי ) ב – , E משמע - לכל E ∈ x מתקיים כאשר בסעיף 2 . 2 ננצל עובדה זו כדי להוכיח , בין היתר , שכל מרחב מכפלה פנימית סוף – ממדי הוא מרחב הילברט . אולם המטרה העיקרית של הפרק היא להכליל את ההצגה ( 1 ) למרחבי הילברט אינסוף – ממדיים . אם H הוא מרחב כזה , יש בו מערכת אורתונורמלית אינסופית { , … ϕ , ϕ } , כפי שנובע מהתהליך המוכר של גרם – שמידט עליו נחזור בסעיף . 2 . 1 לכן טבעי הוא לנסות להציג כל H ∈ x כ " צירוף לינארי אינסופי " של k ϕ – ים : לצורך כך יש להבהיר תחילה את המשמעות של אגף ימין של ( . ( 2 בכך עוסק סעיף 2 . 3 בו נדון בטורים של וקטורים במרחב מכפלה פנימית . נעמוד שם על ההבדלים בין ההצגות ( 1 ) ו – ( 2 ) כאשר המערכת { ϕ } ...  אל הספר