יהי M תת – מרחב n – ממדי של מרחב מכפלה פנימית . E ראינו כי לכל E ∈ y יש M ∈ w אחד ויחיד המקיים w − . d ( , yM ) = y מצאנו גם נוסחה פשוטה עבור w כזה , אך זאת כאשר היה נתון לנו בסיס אורתונורמלי של . M בסעיף זה נמצא נוסחה ל – w כאשר נתון לנו בסיס כלשהו { y , ,... y } של . M מאחר ש – M ∈ , w נחפשו בצורה עתה , M ⊥ w − y אםם y j ⊥ w − y לכל , j כלומר לכן ( רא ו ( : ( ( 1 או בצורה מפורשת יותר : זוהי מערכת של n משוואות לינאריות ב – n נעלמים n α ,... , α , שכל פתרון שלה יתן מקדמי הצירוף ( 1 ) המבטיחים כי M ⊥ w − . y מאחר ש – w כזה יחיד ומאחר ש – { y , ,... y } בלתי תלויה לינארית נובע כי למערכת ( 2 ) יש פתרון יחיד ( הבהרו זאת לעצמכם ) . אי – לכך , הדטרמיננטה של המערכת חייבת להיות שונה מ – 0 ואת פתרונה ניתן למצוא בעזרת נוסחת קרמר . נסמן :
אל הספר