כאן נוכיח את המשפט המרכזי של פרק זה - המשפט הספקטרלי , המכונה גם משפט הילברט – שמידט ( . ( Hilbert - Schmidt משפט 5 . 7 יהי 0 ≠ A אופרטור קומפקטי צמוד לעצמו במרחב הילברט ממשי או מרוכב , H או אופרטור קומפקטי נורמלי במרחב הילברט מרוכב . אז קיימת מערכת אורתונורמלית … , ϕ , ϕ של וקטורים עצמיים של , A השייכים לערכים עצמיים שונים מאפס , … , λ , λ , כך שמתקיים : ( i ) לכל H ∈ , x nn ϕ ϕ , n x λ ∑ = 1 ) Ax ) n שוויון זה מכונה הצגה ספקטרלית של . A כמו כן , אם { n λ } היא סדרה אינסופית , אז 0 → λ . ( ii ) כל H ∈ x ניתן להצגה + z ϕ n ϕ , x ∑ = 2 ) x ) n כאשר rKe A ∈ z וכן { n ϕ } Sp ⊥ . z הערות א . לפי דוגמה ה בסעיף 5 . 1 ושאלה , 5 בהצגה ( 1 ) מופיעים כל הערכים העצמיים השונים מ – 0 של , A וכל אחד מהם מופיע שם מספר פעמים השווה לריבויו . ב . לא הנחנו כי H הוא ספרבילי . עם זאת , מ – ( 1 ) נובע ( לפי דוגמה ה בסעיף , ( 5 . 1 כי { n ϕ } 3 ) Im A = Sp ) ולכן , בכל מקרה , התת – מרחב M = Im A הוא ספרבילי ו – { n ϕ } הוא בסיס אורתונורמלי שלו , המורכב מווקטורים עצמיים של . A ברור כי A מעתיק את M אל עצמו ולכ...
אל הספר