הגדרה 4 . 61 אופרטור לינארי H 2 → A : H נקרא איזומטריה ( או איזומטריה לינארית ) אם לכל H 1 ∈ Ax = x x מהגדרה זו נובע כי A חסום ו – . A = 1 כמו כן , { . Ker A = { 0 ולכן כל איזומטריה היא העתקה חח " ע . המושג " איזומטריה " הופיע כבר בסעיף 2 . 8 בו התעניינו באיזומטריה שהיא על , H וקראנו לה איזומורפיזם ( בין H ו – . ( H הראינו שם ( בשאלה , ( 15 כי איזומטריה לינארית שומרת גם על המכפלה הפנימית : . Ax , Ay = x , y במשפט הבא נוכיח זאת בדרך אחרת , תוך מתן אפיון נוסף של איזומטריות . משפט 4 . 71 עבור ( S ( H , H ∈ , A הטענות הבאות שקולות : א . A הוא איזומטריה . ב . , Ax , Ay = x , y לכל H 1 ∈ . x , y ג . . A * A = I H 1 כמו כן , אם A הוא איזומטריה ואם , mI A = H 2 אז . AA * = I H 2 כמסקנה מהאמור לעיל נקבל : אופרטור ( S ( H , H ∈ A הוא איזומטריה על H אם ורק אם 1 − . A * = A הוכחה א ⇐ ג נתון כי , Ax = x לכל H 1 ∈ . x יהי I H אופרטור היחידה ב – , H אז 1 I x , x = x , x = Ax , Ax = A * Ax , x H 1 כיוון ש – A * A ו – I H צמודים לעצמם , נסיק מכאן ( לפי מסקנה 4 . 10 ) כי . A * A = I H 1 1 ג ⇐ ב לכל H 1 ...
אל הספר