הגדרות ומשפטים

הגדרה 6 . 1 יהי V מרחב וקטורי ( ממשי או מרוכב ) . פונקציה מ – V ל – , R המסומנת על – ידי ⋅ , נקראת נורמה ב – V אם היא מקיימת את התכונות הבאות : ( 0 ( i ≥ x לכל V ∈ x ו - x = 0 אםם . x = 0 ( x ( ii ⋅ α = x α לכל V ∈ x ולכל סקלר α . ( x + y ( iii ≤ x + y לכל V ∈ x , y ( אי – שוויון המשולש ) . מרחב V המצויד בנורמה , נקרא מרחב וקטורי נורמי ( normed linear space ) או פשוט מרחב נורמי . משפט 6 . 2 מרחב נורמי V הוא מרחב מכפלה פנימית , כלומר , ניתן להגדיר בו מכפלה פנימית היוצרת את הנורמה הקיימת בו , אם ורק אם לכל V ∈ x , y מתקיימת זהות המקבילית 2 2 2 2 xy = 2 x + 2 y − + x + y הגדרה 6 . 3 מרחב נורמי נקרא שלם אם כל סדרת קושי בו מתכנסת . מרחב נורמי שלם נקרא מרחב בנך . מרחב בנך יסומן באות . B הגדרה 6 . 4 מרחב בנך B נקרא ספרבילי אם הוא מכיל קבוצה בת – מנייה אשר צפופה בו . הגדרה שקולה היא זו : B הוא ספרבילי אם קיימת בו קבוצת וקטורים בת – מנייה , כך שהמרחב הנפרש על – ידי קבוצה זו צפוף ב – . B הגדרה 6 . 5 סדרה { x n } במרחב בנך B נקראת בסיס שאודר ( Schauder basis ) של , B אם לכל B ∈ x קיימת סדרה יחידה...  אל הספר