בכל מרחב נורמי X אפשר להגדיר את המרחק בין שתי נקודותיו , על – ידי y − . d ( , xy ) = x d היא פונקציה ממשית המוגדרת ב – . X × X מאקסיומות הנורמה נובע כי d מקיימת את התכונות הבאות : ( 0 ( i ≥ ( d ( , xy ו – d ( , xy ) = 0 אםם . x = y ( . d ( , xy ) = d ( , yx ) ( ii ( d ( , xz ) ( iii ≥ ( . d ( , xy ) + d ( , yz נשים לב שבניסוח תכונות אלה אין זכר לכך ש – X הוא מרחב וקטורי , ולכך הן בעלות משמעות עבור קבוצה כלשהי . כך נגיע למושג הבא : קבוצה כלשהי , S יחד עם פונקציה d אשר מוגדרת ב – S × S ומקיימת את התכונות ( , ( iii ) - ( i נקראת מרחב מטרי ( . ( metric space במרחב מטרי אפשר להגדיר מספר מושגים המוכרים לנו עבור מרחבים נורמיים . כך נאמר כי x → x אם 0 → ( . d ( x , x נאמר גם כי { x n } היא סדרת קושי , אם 0 → ( d ( x , x כאשר ∞ → . m , n מרחב מטרי S נקרא שלם אם כל סדרת קושי בו מתכנסת לאיבר של . S 1 ולכן התעלמנו במתכוון מהתכונה הנוספת ( , dxy )λ = ( xy λ , λ) d אשר נובעת מכך ש – x ⋅λ = x λ . 2 טיפול מקיף במרחבים מטריים , הכולל בין השאר את משפט נקודת השבת , ניתן למצוא בקורס " טופולוגיה קבוצתית " ...
אל הספר