מבוא

עד עתה עסקנו באופרטורים לינאריים בלבד . אולם בעיות רבות מובילות לאופרטורים אשר אינם לינאריים . תור ת האופרטורים הלא לינאריים היא מן הסתם מורכבת יותר , ולכן נטפל כאן רק במחלקה מיוחדת אחת של אופרטורים כאלה . נפתח בהגדרת המושג " נקודת שבת " . תהי S → A : S העתקה כלשהי של קבוצה S לתוך עצמה . אומרים כי S ∈ x היא נקודת שב ת ( fixed point ) של , A אם ההעתקה A משאירה אותה במקומה , כלומר אם Ax = x למשל : 2 להעתקה x + 5 → x מ – R ל – R אין אף נקודת שבת , ואילו להעתקה x → x יש שתי נקודות שבת 0 ו – . 1 אם A הוא אופרטור לינארי במרחב וקטורי , V אז 0 היא נקודת שבת של . A אם = 1 λ איננו ערך עצמי של A אז 0 היא נקודת שבת יחידה . אחרת - יש ל – A נקודות שבת נוספות , הלא הם הווקטורים העצמיים השייכים לערך עצמי . 1 מושג נקודת השבת עולה באופן טבעי , בבואנו לפתור משוואות מהטיפוס . Tx = y יהי T אופרטור ( לאו דווקא לינארי ) אשר פועל במרחב נורמי . V אז Tx + y = x − x ⇔ Tx = y ולכן אם נגדיר אופרטור A על – ידי + xTxy − = , Ax נקבל כי x הוא פתרון המשוואה Tx = y אם ורק אם x היא נקודת שבת של . A מכאן שחשוב מאוד שיהיו ...  אל הספר