תהי { A n } סדרה חסומה ב – ( , S ( X , Y נאמר a ≤ A n לכל . n אז לכל X ∈ x a x , n = 1 , 2 ..., ≤ x ⋅ A ≤ A x n n כלומר לכל X ∈ x הסדרה { A x } חסומה ב – . Y מסתבר שאם X שלם , דהיינו אם X הוא מרחב בנך , אז נכון גם ההיפך ! זהו תוכנו של עקרון החסימות במידה שווה שיוכח להלן . עקרון זה נוסח והוכח בכללותו על ידי בנך ושטיינהאוס בשנת , 1927 אך הוא התגלה למעשה עוד בשנת 1908 על – ידי לבג , במחקריו על טורי פורייה . לעקרון זה יש שימושים מגוונים באנליזה ( אינטגרציה נומרית , אינטרפולציה , סכימה של טורים מתבדרים ועוד ) , ומקצתם נדגים בהמשך הפרק . משפט 7 . 1 עקרון החסימ וּ ת במידה שווה תהי { A n } סדרת אופרטורים לינאריים חסומים Y → A : X ממרחב בנך X למרחב נורמי , Y ונניח כי היא חסומה נקודתית , כלומר לכל X ∈ x קיים קבוע c כך ש – c , n = 1 , 2 ..., ≤ 1 ) A x ) n x אז הנורמות A n חסומות במידה שווה , כלומר קיים קבוע c כך ש – c , n = 1 , 2 ..., ≤ 2 ) A ) n או , בניסוח שקול : אם לכל X ∈ x ∞ < 1 ' ) sup A x ) n אז ∞ < 2 ' ) sup A ) n n הערות א . נהוג לכנות את עקרון החסימות במידה שווה גם בשם " משפט בנך – שטיינ...
אל הספר