7.1 אופרטורים לינאריים חסומים : תכונות בסיסיות ודוגמאות

בסעיף 3 . 1 הגדרנו את מושג הנורמה של אופרטור לינארי והצגנו מספר תכונות של אופרטורים לינאריים חסומים . כיוון שהסתמכנו שם רק על מושג הנורמה במרחב מכפלה פנימית ועל תכונותיה , כל מה שנאמר בסעיף 3 . 1 ( ובכלל זה הטענות שבשאלות 7 - 1 ) כוח ו יפה גם עבור אופרטורים לינאריים במרחבים נורמיים . הוא הדין לגבי ממצאי סעיף 3 . 7 בדבר סדרות וטורים של אופרטורים חסומים . לנוחיות הקוראים נרכז מספר תוצאות חשובות ברשימה שלהלן . יהי Y → A : X אופרטור לינארי . . 1 הנורמה , , A של A מוגדרת על – ידי כאשר ∞ < , A אומרים כי A חסום ורושמים ( S ( X , Y ∈ . A במקרה X = Y מקצרים ורושמים ( S ( X במקום ( . S ( X , X . 2 אם A חסום אז Ax ⋅ ≤ . Ax כמו כן , אם קיים מספר K > 0 כך שלכל X ∈ x מתקיים Kx ≤ , Ax אז K ≤ . A . 3 אומרים כי A רציף בנקודה X ∈ , x אם מתוך x → x נובע Ax → . Ax . 4 עבור אופרטור לינארי Y → , A : X התנאים הבאים שקולים : א . A רציף ( דהיינו רציף בכל נקודה ב – . ( X ב . A רציף בנקודה אחת ב – . X ג . A חסום . . 5 אם A רציף ואם x k ∑ הוא טור מתכנס של איברי , X אז הטור Ax ∑ מתכנס ב – Y  אל הספר