בסעיף 4 . 7 הכרנו את מושג ההתכנסות החלשה במרחבי הילברט . כפי שהבטחנו אז , נחזור כאן לנושא זה מנקודת מבט יותר כללית . נזכיר כי לפי הגדרה , 4 . 30 סדרה { x n } של וקטורי מרחב הילברט H מתכנסת חלש לווקטור H ∈ , x אם לכל H ∈ y מתקיים xy , → . x , y כיצד ניתן לתרגם הגדרה זו למרחבים ללא מכפלה פנימית ? משפט ההצגה של ריס ( משפט 3 . 5 ) מספק את התשובה : לפי משפט זה , ניתן להמיר את התנאי " , xy → x , y לכל H ∈ " y בתנאי " ( f ( x → ( f ( x לכל * H ∈ . " f תנאי אחרון זה הוא בעל משמעות גם במרחבי בנך , ולכן נגדיר : הגדרה 6 . 72 נאמר כי סדרת וקטורים { x n } במרחב בנך B מתכנסת חלש לווקטור B ∈ x אם לכל * B ∈ f ( x ) f → ( f ( x במקרה זה נרשום x → x n w ונאמר כי x הוא הגבול החלש של { . { x n הערות א . עבור מרחבי הילברט , כפי שהערנו לעיל , הגדרה זו שקולה להגדרה . 4 . 30 w w ב . אם לסדרה קיים גבול חלש אז הוא יחיד . אכן , אם x → x וגם ′ x → , x אז לכל B ∈ f מתקיים ( f ( x → ( f ( x וכן (′ f ( x → ( . f ( x מכאן אנו מסיקים ( לפי יחידות הגבול של סדרת מספרים ) כי (′ . f ( x ) = f ( x כיוון שזה נכון לכל * B ∈ ...
אל הספר