כפי שצוין ב " פתח דבר " לקורס זה , משפט האן – בנך הוא אחד מעמודי התווך של אנליזה לינארית . ישנן גרסאות שונות למשפט זה , וחלקן מתייחסות למרחבים וקטוריים כלליים . כאן ננסח ונוכיח את המשפט עבור מרחבים נורמיים . משפט 6 . 71 משפט האן – בנ ך יהי M תת – מרחב של מרחב נורמי V ויהי f פונקציונל לינארי חסום המוגדר על . M אז קיים פונקציונל לינארי חסום F המוגדר על , V כך ש – F ( x ) = ( fx ) . 1 לכל M ∈ . x . F = f . 2 או , בניסוח מילולי קצר : ניתן להרחיב את f לכל המרחב , V תוך שמירת הנורמה . הערות א . שימו לב ! המשפט אינו טוען שהרחבה כזאת היא יחידה , ובדרך כלל אין כך הדבר . עם זאת , נציין מקרה פרטי אחד , בו ההרחבה היא יחידה ומיידית . נניח כי , M = V כלומר M צפוף ב – . V לכל V \ M ∈ x נבחר סדרה x → M , x ∈ . x כיוון ש – { x n } היא סדרת קושי , נסיק מחסימות f כי { f ( x ) } היא סדרת קושי ( של מספרים ) . לכן היא מתכנסת , וקל להראות שגבולה אינו תלוי בבחירת { . { x n מכאן שאפשר להגדיר ( , f ( x ) = flim ( x n וכך מתקבלת ההרחבה הדרושה . ∞→ n ב . הוכחת משפט האן – בנך עבור מרחבי הילברט היא פשוטה מאוד . לאו...
אל הספר