הגדרה 6 . 3 מרחב נורמי נקרא שלם אם כל סדרת קושי בו מתכנסת . מרחב נורמי שלם נקרא מרחב בנך . מרחב בנך יסומן באות . B הערות א . ישנם מרחבים נורמיים לא שלמים . כזהו , למשל , מרחב פונקציות רצ יפות [ C 2 [ a , b עם 2 b 2 הנורמה a f ∫ , בו דנו בסעיף . 1 . 4 ב . אם L הוא תת – מרחב של , B אז L יורש את הנורמה המוגדרת ב – . B מרחב L המצויד בנורמה זו הוא מרחב נורמי בזכות עצמו , והוא נקרא תת – מרחב של . B לפי משפט , 1 . 12 שהוכחתו תקפה גם במרחב נורמי , L הוא מרחב בנך אם ורק אם הוא סגור ב – . B 1 על שם המתמטיקאי הפולני המפורסם סטפן בנך ( , ( Stefan Banach , 1892 – 1945 אחד ממייסד י אנליזה פונקציונלית . נציין עוד ( רא ו הערה שלאחר הוכחת משפט 1 . 12 ) כי הגרירה " L שלם ⇐ L סגור ב – " B נכונה גם ללא הנחת השלמות של . B ג . אם { x n } היא סדרה במרחב בנך B כך שהטור x n ∑ מתכנס , אז גם הטור nx ∑ מתכנס וסכומו אינו תלוי בסדר איבריו . כמו כן , מתקיים x n ∑ ≤ x n ∑( רא ו טענה 2 . 5 ושאלה 4 בפרק . ( 2 ועתה נביא מגוון דוגמאות למרחבי בנך חשובים . › דוגמה א כל מרחב הילברט הוא מרחב בנך , עם הנורמה › . x = , xx › דו...
אל הספר