תורת אינטגרל לבג עבור פונקציות של שני משתנים המוגדרות , נאמר , במלבן [ D = [ a , b ] × [ c , d דומה לזו שהוצגה לעיל . כל מה שיש לשנות הוא להמיר קטעים במלבנים ולהמיר אורכים בשטחים . קבוצה D ⊆ A נקראת אפוא בעלת מידה אפס אם ניתן לכסותה על – ידי סדרה ( סופית או אינסופית ) של מלבנים שצלעותיהם מקבילות לצירים כך שסכום שטחיהם יהיה קטן כרצוננו . 1 למשל , נוכל לכסות את האלכסון של הריבוע [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] על – ידי n ריבועים בעלי שטח 2 n כל אחד . 1 סכום שטחיהם של ריבועים אלה שווה אפוא ל – והוא יהיה קטן כרצוננו אם נבחר n מספיק n גדול . אי לכך , האלכסון הוא בעל מידה אפס . הוא הדין לגבי כל קטע אחר או קו מצולע כלשהו . ועוד דוגמה : › דוגמה א תהיה [ a , b ] ⊆ , sme A = 0 , A אז הקבוצה [ A × [ c , d היא בעלת מידה אפס . אכן יהי I ∪ ⊆ A כך ש – ε ≤ I n ∑ . אז : n n D n ∪ = ([ I [× c , d )∪⊆[ A [× c , d n n השטח ⏐ D ⏐ של המלבן [ D = I × [ c , d הוא I n ⋅ ( c − . ( d אי – לכך : ε ( dc −)≤ D n ∑ . › n נוסחה דומה נכונה גם עבור ( L ( D ∈ : f משפט ג - 21 משפט פוביני ( Fubini ) יהי [ , D = [ a , b ] × [ c , d ...
אל הספר