אנו רואים כי f אינה רציפה רק בנקודות , … , 1 / 4 , 1 / 3 , 1 / 2 שהן מהוות קבוצה בת –מנייה ולכן בעלת מידה אפס ( דוגמה א ) . לכן f רציפה כ . ב . מ . ב – [ › . [ 0 , 1 למושג הרציפות כ . ב . מ . חשיבות מכרעת בבואנו לבדוק אינטגרביליות לפי רימן של פונקציה נתונה . בקורס " חשבון אינפיניטסימלי " I הוכחנו שאם f חסומה בקטע סופי I ורציפה בו להוציא מספר סופי של נקודות , אז f אינטגרבילית לפי רימן ב – . I הוכחנו גם שכל פונקציה מונוטונית וחסומה בקטע סופי , I אינטגרבילית בו . קבוצת נקודות האי – רציפות של פונקציה כזאת עשויה להיות אינסופית , אך מסתבר שהיא לעולם בת – מנייה ולכן בעלת מידה אפס ( ראו למשל דוגמה לעיל ) . אלה הם מקרים פרטיים של המשפט הבא . משפט ג - 3 פונקציה f אינטגרבילית לפי רימן בקטע סופי I אם ורק אם היא חסומה ב – I ורציפה כ . ב . מ . ב – . I משפט זה הוכח בקורס " תורת המידה " ( משפט ח – . ( 15 שם הוכחנו גם ( משפט ח – 10 ) שאם f ו – g אינטגרביליות לפי רימן ב – I ושוות כ . ב . מ . ב – I אז g ∫ ∫ ( 5 ) מאידך , אם f אינטגרבילית לפי רימן ב – I ו – g = f כ . ב . מ . ב – , I אז ייתכן ו – g אינה אי...
אל הספר