אם x i נשלטת חזק על–ידי , p ' אז לכל אמונה p j של שחקן i על התפלגות האסטרטגיות של יריבו , תוחלת התועלת של שחקן , i אם ינקוט את , p ' תהיה לעולם גבוהה מזו שיקבל אם ינקוט את : x i U ) p ' , p ( > ) , Uxp כך , p i p j = p ' עדיפה לשחקן i על פני x i תחת האמונה , p j ומכאן ש– x לעולם אינה מיטבית לשחקן i בהרחבת העירוב של המשחק . נותר לנו להוכיח את הכיוון השני של הטענה : אם x i לעולם אינה מיטבית , אזי קיימת אסטרטגיה מעורבת p ' השולטת חזק על x i בהרחבת העירוב של המשחק . כדי להוכיח זאת , נשתמש במשפט המינימקס . נגדיר משחק חדש עם אותן אסטרטגיות לשני השחקנים . פונקציית התשלום V ›) , › xx ( = ›) , › Uxx ( - ) , › Uxx ( לשחקן i במשחק החדש תהיה ההפרש שבין התשלום U ›) , › xx ( שלו במשחק המקורי לבין התשלום שהיה מקבל אילו היה בוחר ב– . x פונקציית התשלום של שחקן j במשחק החדש תהיה עתה , V ›) , › xx ( = V- ›) , › xx ( כך שהמשחק החדש יהיה משחק סכום אפס . היות ש– x לעולם אינה מיטבית במשחק המקורי , אנו יודעים כי בהינתן אמונה p j של שחקן i על אסטרטגיות יריבו ( כלומר בהינתן ששחקן i מאמין כי היריב נוקט את האסטרט...
אל הספר