יז. אלגבראות מעל שדה

עד עכשיו לא התיחסנו לאפשרות של הכפלת וקטור בוקטור כדי לקבל וקטור נוסף , ובאמת דבר כזה לא תמיד אפשרי . אבל , לעתים , ניתן ומעניין להגדיר כפל מה . מרחב וקטורים v מעל שדה F נקרא אלגברה מעל F אם ורק אם קיימת העתקה דו-ליניארית { v , w ) ! - *• vw מ- " ז / , f / v x v א , העתקה המקיימת -, u ( v + tu ) = uv + uw ( 1 ) ;( u + v ) w = UW + vw ( 2 ) a ( vw ) — v ( aw ) — ( av ) w ( 3 ) a ^ Ftt ולכל . u , v , w 6 v במקרה שמתקיים גס u ( vw ) = ( uv ) w ( 4 ) u , w , «; e v / האלגברה נקראת אלגברה קיבזצית מעל י ^ תת-מרחב של אלגברה ^^^ שהוא סגור גם תחת כפל נקרא תת-אלגברה של V דוגטאתז : נ ( 1 אס F תת-שדה של שדה K אזי K אלגברה קיבוצית מעל , p JF לדוגמא , M אלגברה קיבוצית מעל € -ו Q אלגברה קיבוצית מעל M ומעל . @ אנו גם רואים שמרחב הוקטורים £ הינו אלגברה מעל M עם כפל מוגדר על ידי . [ a , b ] [ c , d ] = [ ac - bd , ad + 6 c ] ( זה , כמובן , רק הכפל , € -מ שהוא איזומורפי ל- ( JR ניתן גם להגדיר פעולת כפל אחרת על 1 שתהפוך אותה לאלגברה קיבוצית מעל , 1 דהיינו p . [ a , b ][ c , d ] = [ ac , bd ] אנו רואים שהח...  אל הספר