יד. אנדומורפיזמים של מרחבים עם מכפלה פנימית

יהי v מרחב עם מכפלה פנימית , עליו מוגדר אנדומורפיזם . a כפי שכבר ראינו , אנדומורפיזם זה צמוד לעצמו אם ורק אם ( a ( v ) , w ) — ( v , a { w )) לכל . v , w € ז ' ' גס ראינו כבר שאם a צמוד לעצמו אזי ( a ( v ) , v ) e n לכל . v e v במידה והמרחב V נוצר סופית , גם ההיפך נכון . משפט . J . V > ה > V מרחב עס מכפלה פנימית הנוצר סופית מעל c ועליו אנדומורפיזם . a אס (<*(«) , *>) מספר ממשי עבור כל וקטור v e v אזי a צמוד לעצמו . הוכחה : עבור וקטורים v-1 w- > v מתקיים { a ( v + w ) , v + w ) = ( a ( u ) , ?;) + ( a ( v ) , w ) + ( a ( 1 v ) , v ) + { a ( w ) , w ) ומאחר ולפי הנחתנו המספרים ( a ( v ) , v ) , ( a { w ) , w ) ו- tiro ( a ( v + w ) , v + w ) ממשיים , נובע שגס ( a { v ) , w ) + { a ( w ) , v ) מספר ממשי . גם מתקיים ( a ( v + iw ) , v + iw ) = ( a ( v ) , v ) - i ( a ( v ) , w ) + i { a ( w ) , v ) + ( a ( w ) , w ) , pin באופן דומה , נובע ש- i ( a ( v ) , w ) + i ( a ( w ) , v ) מספר ממשי ואי לכך שווה לצמוד שלו . מזה אנו תאים ש- -ו ( a { v ) , w ) + ( a ( w ) , v ) = ( w , a { v )) + ( v ...  אל הספר