יב. המרחב הדואלי

יהי v מרחב רקטורים מעל שדה י ^ העתקה ליניארית F-1 > v-n ( שנחשב למרחב וקטורים מעל עצמו ) נקראת פונקצ > ונ > > נ ^ 7 אר > ע > V המרחב Hom ( v , F ) של כל הפונקציונלים הליניארייס על v נקרא המרחב הדואלי של v ונסמנו D { V ) -1 מאחר , dim ( F ) = 1-ו כל פונקציונל ליניארי חוץ מהעתקת 0-ה חייב להיות אפימורפיזם . דוגמאות : ( 1 ) יהי V מרחב וקטורים מעל F ולו בסיס . B לכל u € B קייס פונקציונל ליניארי < $ „ המוגדר על B על ידי Su ( u ) = 1 ו- rfu ( u' ) = 0 כאשר . u ^ u ' e B בפרט , אם v = F אזי לכל 1 < i < n קיים פונקציונל ליניארי 6 t על v המוגדר על ידי , ( Ji : [ ai ,... , an ] M ? a < המקיים את התנאים הנ " ל אם ניקח את B בתור הבסיס התקני . ( 2 ) יהי F שדה . אנו יכולים להגדיר פונקציונל ליניארי על M nXn ( F ) על ידי ? tr : i aij ] ^ YS = \ A פונקציה זו נקראת פונקצית העקבה . נשים לב שאם A = [ 0 0 ] ו- B = [ bn ] מטריצות M nxn ( F ) -2 אזי מזה נובע שאם p מטריצה הפיכה , אזי tr { P ~ AP ) = ^( APP- ) = tr ( A ) ןכך אנו תאים שלמטריצות דומות ישנן עקבות זהות .  אל הספר