|
|
עמוד:13
תרגיל - 4 המתמטיקה היא מערכת קוהרנטית , עקבית , של ידע העקביות היא אחד השיקולים החשובים בעת הגדרת מושגים וכללים חדשים במתמטיקה . בשלב זה של היחידה נתייחס לעקביות כאל אחד המאפיינים של המתמטיקה . במקורות לאי עקביות בחשיבה מתמטית ובדרכי טיפול בהם נדון ביחידת הוראה נפרדת . בתרגיל 4 אנו דנים בהגדרת . ( -1 )( -1 ) = 1 נזכיר כי , ( + 1 )( + 1 ) = 1-1 = 1 וכן כי . ( -1 )( + 1 ) =- 1 באופן טבעי נגדיר את ( -1 )( -1 ) כ 1 או כ .-1 אילו בחרנו ב ,-1 אזי-0 = ( - !)[( + !) + ( -1 )] = ( -1 )( + 1 ) = [(! - ) + ( = ( -1 ) ?) ( -1 ) = ( -2 ) ומכאן , 0 =-2 וזה בוודאי אינו נכון . בחירת ( -1 )( -1 ) = 1 אינה מניבה סתירה מסוג זה . ניתן באופן כללי לדון בהגדרת כפל של שני מספרים שליליים : ? . { a , b > 0 ) ( -a ) - { -b ) - + ab norm הפורמלי פשוט ומובן , שכן הוא מסתמך על חוקים קיימים ומוכרים ועל הרצון לשומרם . מחד גיסא , השימוש באיבר הנגדי ובחוק האפס נותנים : ( -a ) ? [( + b ) + ( -b )] = ( -a ) 0 = 0 מאידך גיסא , שימוש בחוק הפילוג מביא אותנו לביטוי : ( -a ) ? [( + b ) + ( -b )] = ( -a ) ? ( + b ) + ( -a ) ? { -b ) = ab + ( -a ) ( -b ) שמירת העקביות מחייבת : ,-ab + ( -a ) ( -b ) = o ועל פי הגדרת מספרים נגדיים ( שני מספרים שסכומם אפס ) . ( -a ) ? ( -b ) = + ab : דוגמה נוספת להפעלת שיקול של עקביות בהגדרת מושג חדש היא הרחבת מושג החזקה למעריך שלם לא טבעי . מומלץ למורה לדון בסיבות להגדרת a ° = l ואי הגדרה של . 0 ° למשל , אס נתבונן בהגדרה 0 DpTsnn ( a ? t 0 ) a = 1 הפורמלית הפשוטה היא : ' מחד גיסא : — a mm = a ° מאידך גיסא : = 1 a m a m 0 מסקנה : מטעמי עקביות יש להגדיר . « = 1 ואילו את 0 ° הוחלט לא להגדיר , שכן , על פי הרחבת הכלל הקודם לבסיס 0 נקבל , 0 ° = 1 ואילו על פי הרחבת הכלל 0 " = 0 לכל n טבעי , לגבי מעריך , 0 נקבל 0 ° = 0 ( כל מספר בחזקת 0 שווה 1 לעומת 0 בחזקת כל מספר שווה . ( 0-ל כיוון שאין סיבה להעדיף אחת מהצעות אלה , הוחלט לא להגדיר את . 0 ° בהמשך ניתן לדון גם בסיבות לאי הגדרת החילוק באפס , או מדוע לא הוגדר חיבור שברים על ידי חיבור מונים וחיבור מכנים ( בדומה להגדרת כפל בשברים . ( ראו דיון בדף עבודה . 5 דוגמה נוספת לעקביות בהגדרה מתייחסת להגדרת המושג עצרת . ראו תרגיל 2 מתוך התרגילים הנוספים .
|
|