|
|
עמוד:41
המטען הכלוא במשטח גאוס הוא המטען הכולל על הכדור . q , לפי חוק גאוס , השטף שווה , q / e 0 לכן : ומכאן נובע כי : זהו בדיוק השדה שהיה נוצר אילו המטען q היה מרוכז במרכז הכדור ! שני השדות זהים בגודל ובכיוון , ולכן ניתן להתייחס אל השדה של קליפה כדורית טעונה , מחוץ לקליפה , כאל שדה של מטען נקודתי , במרכז הכדור . משפט : 2 השדה נתון קליפה כדורית , טעונה באופן אחיד , הוא אפס . הוכחה . נניח שהנקודה שבה אנו מתעניינים היא בתוך הכדור שבו עסקנו קודם ( הפעם < R . ( 7 משטח גאוס שלנו הוא הפעם בתוך הכדור , ולכן המטען שהוא מקיף שווה אפס . הנימוקים שהעלינו בדוגמא הקודמת תקפים גם כאן ונוכל להסיק גם הפעם כי השדה אחיד בגודלו בכל הנקודות שעל משטח גאוס , וכיוונו הוא על הקו המחבר את הנקודה עם המרכז . מחוק גאוס נובע כי 4 w £ = 0 ולכן E = 0 בכל נקודה בתוך הכדור . פירוש הדבר שעל מטען בוחן , הנמצא בתוך כדור ששטח פניו טעון באופן אחיד , פועלים כוחות לכל הצדדים , באופן שהכוח השקול הוא אפס . נציין כי יכולנו לחשב את השדה מחוץ לקליפת המטען ובתוכה גם בעזרת אינטגרציה , כמו שעשינו , למשל , בחישוב השדה של דיסקה טעונה . אולם החישוב היה אז ממושך ומסובך , ואילו בעזרת חוק גאוס חישבנו את השדה בלי טרחה רבה . שאלה 3 . 3 שטח הפנים של כדור בעל רדיוס fi טעון בצפיפות מטען שטחית אחידה o , מצא את השדה בנקודה הנמצאת על פני הכדור ( הבע אותו בעזרת \ a השווה זאת לשדה על מישור טעון . משפט : 3 השדה של התפלגות מטען בעלת סימטריה כדורית זהה לשדה של מטען נקודתי . הוכחה : חשוב על התפלגות מטען הכוללת מספר קליפות טעונות בעלות מרכז משותף , או על מטען המפוזר בצפיפות נפחית אחידה בתוך כדור , או על מטען מרחבי שצפיפותו סמטרית ביחס למרכז הכדור ואינה תלויה בכיוון ( ראה איור . ( 3 . 11 איור : 3 . 10 כאשר הנקודה היא בתוך הכדור , { r < R ) אין מטענים בתוך משטח נאוס . איור : 3 . 11 דוגמאות להתפלגות מטען בעלת סימטריה כדורית ) . א ) מספר קליפות טעונות בעלות מרכז משותף ) . ב ) מטען המפוזר בצפיפות נפחית אחידה בתוך כדור ) . ג ) מטען מרחבי שצפיפותו משתנה כפונקציה של המרחק מנקודה , 0 אך אינה תלויה בכיוון .
|
|