|
|
עמוד:8
3 . 1 אופרטורים לינאריים חסומים בפרק 1 הגדרנו את מושג הרציפות של פונקציה C → . f : E נכליל הגדרה זו . הגדרה 3 . 1 תהי E → A : E העתקה כלשהי ( לאו דווקא לינארית ) . נאמר כי A רציפה בנקודה E ∈ , x אם לכל > 0 ε יש > 0 δ כך שמתקיים : ε < Ax − Ax ⇒δ < x − x 0 0 או , בניסוח שקול : AxAx → ⇒ x → x n 0 n 0 אם A רציפה בכל נקודה ב – , E נאמר כי A רציפה ב – . E מסתבר שעבור העתקה לינארית , רציפות A בנקודה אחת מבטיחה את הרציפות בכל נקודה . נוכיח זאת במשפט הבא , בו נביא גם שתי תכונות של אופרטור לינארי אשר שקולות לתכונת הרציפות . משפט 3 . 2 עבור אופרטור לינארי E 2 → , A : E התנאים הבאים שקולים : א . A רציף ב – . E ב . A רציף בנקודה אחת ב – . E ג . קיים קבוע K > 0 כך שמתקיים : לכל E 1 ∈ x ד . הוכחה ברור כי א ⇐ ב . בכיוון ההפוך , נניח כי A רציף ב – x ונוכיח את רציפותו בכל E 1 ∈ . x תהי x → , x אז x 0 → x + x − x ולכן מהגדרה 3 . 1 נסיק : 0 → Ax − ( x + x − A ( x n 0 0 מאחר ש – A לינארי , נקבל מכאן כי 0 → xA − , Ax כלומר A רציף ב – . x 1 הוכחת השקילות זהה לזו שניתנה בתשובה לשאלה 4 בפרק . 1 יש רק לשנות שם את סימן הערך המוחלט בסימן הנורמה .
|
|