פרק א: מרחבים וקטוריים

עמוד:12

אנו לא נעסוק בסוגייה זו ולא נגדיר במדויק מהו המימד של מרחב שאינו נוצר סופית . במקרה זה פשוט נרשום ∞ = . mdi V איזומורפיזם יהיו V , W מרחבים וקטוריים מעל אותו שדה . F העתקה W → A : V נקראית איזומורפיזם אם היא חד – חד – ערכית , על W ולינארית , כלומר : V ∈ A ( x + y ) = Ax + Ay , x , y V ∈ F , x ∈ α , ( Ax )α = ( x α) A מסתבר שכל מרחב n – ממדי מרוכב או ממשי איזומורפי ל – C או ל – , R בהתאמה . אכן , יהי { v , … , v } בסיס כלשהו של מרחב n – ממדי V ( מרוכב , למשל ) . אז לכל V ∈ x קיימת הצגה אחת ויחידה מהצורה : הווקטור C n ∈ ( α , … , α) נקרא וקטור הקואורדינטות של x בבסיס ( סדור ) . v , … , v ההעתקה C n → A : V המוגדרת על – ידי : ( α , … , α) = Ax 1 n היא בבירור חד – חד – ערכית , על C n ולינארית , כלומר זהו איזומורפיזם בין V ו – . C סכומים ישרים יהיו L , L 2 תת – מרחבים של . V הסכום L + L 2 מוגדר על – ידי : { L ∈ L , x ∈ L + L = { x + x : x 1 2 1 2 1 1 2 2 וזהו שוב תת – מרחב של . V אם { L = { 0 ∩ L אז לכל L + L 2 ∈ x יש הצגה יחידה מהצורה x = x + x 2 באשר L 1 ∈ L , x ∈ . x אכן , אם ' x = x + x = x ' + x 1 2 1 2 אז x − ' x ' = x − x 1 1 2 2 אגף שמאל הוא וקטור ב – L ואגף ימין הוא וקטור ב – . L מאחר ש – { L = { 0 ∩ L נובע כי . x = x ' , x ' = x 1 במקרה זה הסכום מכונה הסכום הישר ומסומן L 2 ⊕ . L אם K i הוא בסיס של i = 1 , 2 ) L i ) ו – { L = { 0 ∩ L אז K 2 ∪ K הוא בסיס של הסכום הישר L 2 ⊕ L ( מדוע ? ) .

לעמוד קודם  |  לעמוד הבא