פרק א: מרחבים וקטוריים

עמוד:10

n למשל הקבוצה { 1 , x , x , … } ב – P היא בלתי – תלויה לינארית . אכן , השוויון x k = 0 α ∑ k = 0 ב – P פירושו שוויון זהותי . מכאן מתחייב שכל מקדמי הפולינום שווים ל – , 0 כלומר הקבוצה { 1 , x , … , x } בלתי – תלויה לינארית , לכל 0 ≥ . n לכן גם הקבוצה { 1 , x , x , … } בלתי –תלויה לינארית . בסיסים קבוצה K במרחב וקטורי V נקראת בסיס של V אם היא בלתי – תלויה לינארית ופורשת את . V למשל { 1 , x , x , … } היא בסיס של . P כמו כן { e , … , e } היא בסיס ( המכונה הבסיס הסטנדרטי ) של C n ושל . R n מהגדרתו של בסיס נובע כי לכל V ∈ x קיימת הצגה אחת ויחידה של x כצירוף לינארי של איברי הבסיס . אפשר להוכיח כי לכל מרחב וקטורי השונה מ – { 0 } קיים בסיס . לא נוכיח טענה כללית זו , נסתפק בהוכחה במקרה פרטי חשוב . טענה א - 1 נניח כי V נפרש על – ידי סדרה ( סופית או אינסופית ) של וקטורים : Sp { v , v , … } = V ≠ { 0 } 1 2 אז יש ל – V בסיס . הוכחה מאחר ש – { 0 } ≠ V יש מבין ה – v – ים וקטור שונה מאפס . יהי 1 ) v i ≥ i ) הראשון מבין וקטורים 1 אלה . אז { . V = Sp { v i , v , … 1 1 אם כל , v i עבור , i > i הוא כפולה של v i אז { V = Sp { v ו – { v } הוא בסיס של . V 1 1 1 אחרת , יהי , v i כאשר , i > i הווקטור הראשון שאיננו כפולה של . v i 1 2 סילוקן של כפולות של v i אינו משנה את המרחב הנפרש ולכן { . V = Sp { v i , v i , v , … 1 2 2 1 עתה , אם לכל , i > i הווקטור v הוא צירוף לינארי של v i , v i הרי { V = Sp { v i , v ואילו 1 2 1 2 { v i , v } בלתי – תלויה לינארית , שכן v i איננו כפולה של . v i כלומר , { v i , v } הוא בסיס 1 2 1 2 1 2 של . V מאידך גיסא , אם יש , i > i 2 שעבורו v איננו צירוף לינארי של , v i , v i יהי v i הווקטור 3 1 2 הראשון שמקיים זאת , אז { . V = Sp { v i , v i , v i , v , … 1 2 3 3

לעמוד קודם  |  לעמוד הבא